Question A)1)a)
$mathjax$600000\times 1,25=750000$mathjax$
Le 31 mai à 9h nous avons 750000mg de chlore, soit 750g de chlore.
Dont
$mathjax$u_0=750$mathjax$
Avec un taux en mg/L de 1,25<2, le bassin était en sous chloration au 31 mai et n'aurait pas dû être ouvert.
Question A)1)b)
$mathjax$u_1=\left(1-\frac{25}{100}\right)u_0+570\\
\phantom{u_1}=(1-0,25)750+570\\
\phantom{u_1}=0,75\times 750+570\\
\phantom{u_1}=562,5+570\\
\phantom{u_1}=1132,5$mathjax$
\phantom{u_1}=(1-0,25)750+570\\
\phantom{u_1}=0,75\times 750+570\\
\phantom{u_1}=562,5+570\\
\phantom{u_1}=1132,5$mathjax$
Question A)1)c)
Pour tout entier naturel n :
$mathjax$u_{n+1}=\left(1-\frac{25}{100}\right)u_n+570\\
\phantom{u_{n+1}}=(1-0,25)u_n+570\\
\phantom{u_{n+1}}=0,75 u_n+570$mathjax$
\phantom{u_{n+1}}=(1-0,25)u_n+570\\
\phantom{u_{n+1}}=0,75 u_n+570$mathjax$
Question A)1)e)
D'après la relation de récurrence précédente, la suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
n'est donc pas géométrique.Question A)2)a)
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour.
La variable u affichée en sortie initialisée à
$mathjax$u_0=750$mathjax$
et modifiée dans la boucle selon la relation de récurrence de la suite $mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
contient donc la valeur d'un terme de cette suite.La variable k compteur de la boucle Pour allant de 1 à N, la boucle est répétée N fois.
L'algorithme affiche donc en sortie
$mathjax$u_N$mathjax$
, c'est-à-dire la quantité de chlore au Nème jour.Question A)2)b)
Pour avoir le détail pas à pas de l'exécution de l'algorithme, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons-le sur notre calculatrice :
Algorithme | Programme | ||||||||||
|
|
D'où le tableau ainsi complété :
| Variables | Initialisation | Etape 1 | Etape 2 | Etape 3 |
| u | 750 | 1132,5 | 1419,375 | 1634,53125 |
Pour k=2, nous avons donc u=1419,375.
Or,
$mathjax$\frac{1419,375\times 1000}{6OOOOO}=\frac{1419375}{6OOOOO}\\
\phantom{\frac{1419,375\times 1000}{6OOOOO}}\approx 2,4$mathjax$
\phantom{\frac{1419,375\times 1000}{6OOOOO}}\approx 2,4$mathjax$
Le taux de chlore est donc bien compris entre 2 et 4 après 2 jours, et la piscine pourra donc être ouverte dès le 2 juin.
Question A)2)c)
D'après l'algorithme programmé sur la calculatrice, on obtient pour N=15 environ 2259,554.
Au 15ème nous aurons donc environ environ 2259,554 g de chlore.
Question B)1)a)
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$d_n=u_{n+1}-u_n$mathjax$
.Donc
$mathjax$d_0=u_{0+1}-u_0\\
\phantom{d_0}=u_1-u_0\\
\phantom{d_0}=1132,5-750\\
\phantom{d_0}=382,5$mathjax$
\phantom{d_0}=u_1-u_0\\
\phantom{d_0}=1132,5-750\\
\phantom{d_0}=382,5$mathjax$
De même
$mathjax$d_1=u_{1+1}-u_1\\
\phantom{d_1}=u_2-u_1\\
\phantom{d_1}=1419,375-1132,5\\
\phantom{d_1}=286,875$mathjax$
\phantom{d_1}=u_2-u_1\\
\phantom{d_1}=1419,375-1132,5\\
\phantom{d_1}=286,875$mathjax$
De même
$mathjax$d_2=u_{2+1}-u_2\\
\phantom{d_2}=u_3-u_2\\
\phantom{d_2}=1634,53125-1419,375\\
\phantom{d_2}=215,15625$mathjax$
\phantom{d_2}=u_3-u_2\\
\phantom{d_2}=1634,53125-1419,375\\
\phantom{d_2}=215,15625$mathjax$
Question B)1)b)
$mathjax$\frac{d_1}{d_0}=\frac{286,875}{382,5}\\
\phantom{\frac{d_1}{d_0}}=0,75$mathjax$
\phantom{\frac{d_1}{d_0}}=0,75$mathjax$
$mathjax$\frac{d_2}{d_1}=\frac{215,15625}{286,875}\\
\phantom{\frac{d_2}{d_1}}=0,75$mathjax$
\phantom{\frac{d_2}{d_1}}=0,75$mathjax$
Donc
$mathjax$\frac{d_1}{d_0}=\frac{d_2}{d_1}$mathjax$
.Les premiers termes d0, d1 et d2 semblent bien suivre une progression géométrique de raison 0,75.
Question B)2)
Pour tout entier naturel n :
$mathjax$u_{n+1}-u_n=0,75 u_n+570-u_n\\
\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,25 u_n+570$mathjax$
\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,25 u_n+570$mathjax$
Question B)3)a)
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$d_{n+1}=0,75 d_n$mathjax$
.$mathjax$\left(d_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $mathjax$d_0=382,5$mathjax$
.Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$d_n=d_0\times 0,75^n\\
\phantom{d_n}=382,5\times 0,75^n$mathjax$
\phantom{d_n}=382,5\times 0,75^n$mathjax$
Question B)3)b)
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$d_n=u_{n+1}-u_n$mathjax$
.Donc d'après le 2) :
$mathjax$382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570\Leftrightarrow 0,25 u_n=570-382,5\times 0,75^n\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=\frac{570-382,5\times 0,75^n}{0,25}\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=4\left(570-382,5\times 0,75^n\right)\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=4\times 570-4\times 382,5\times 0,75^n\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=2280-1530\times 0,75^n$mathjax$
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=\frac{570-382,5\times 0,75^n}{0,25}\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=4\left(570-382,5\times 0,75^n\right)\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=4\times 570-4\times 382,5\times 0,75^n\\
\phantom{382,5\times 0,75^n=-0,25 u_n+570}\Leftrightarrow u_n=2280-1530\times 0,75^n$mathjax$
Question B)3)c)
$mathjax$0\leq 0,75<1$mathjax$
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,75^n=0$mathjax$
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1530\times 0,75^n=0$mathjax$
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2280-1530\times 0,75^n=2280$mathjax$
En conclusion,
$mathjax$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=2280$mathjax$
Dans le contexte de l'exercice, la quantité de chlore finit par se stabiliser en tendant vers une valeur de 2280g.
$mathjax$\frac{2280\times 1000}{600000}=\frac{2280000}{600000}\\
\phantom{\frac{2280\times 1000}{600000}}=3,8$mathjax$
\phantom{\frac{2280\times 1000}{600000}}=3,8$mathjax$
La taux de chlore tendra donc lui vers 3,8 mg/L, valeur qui est bien comprise entre 2 et 4.
En continuant bien à suivre le protocole de l'énoncé, le bassin pourra donc être maintenu ouvert indéfiniment.
