https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2955
Question 1 :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_{n+1}=0,8 u_n+18$mathjax$
.Donc
$mathjax$u_1=u_{0+1}\\
\phantom{u_1}=0,8 u_0+18\\
\phantom{u_1}=0,8\times 65+18\\
\phantom{u_1}=52+18\\
\phantom{u_1}=70$mathjax$
\phantom{u_1}=0,8 u_0+18\\
\phantom{u_1}=0,8\times 65+18\\
\phantom{u_1}=52+18\\
\phantom{u_1}=70$mathjax$
De même
$mathjax$u_2=u_{1+1}\\
\phantom{u_2}=0,8 u_1+18\\
\phantom{u_2}=0,8\times 70+18\\
\phantom{u_2}=56+18\\
\phantom{u_2}=74$mathjax$
\phantom{u_2}=0,8 u_1+18\\
\phantom{u_2}=0,8\times 70+18\\
\phantom{u_2}=56+18\\
\phantom{u_2}=74$mathjax$
Question 2a :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=u_n-90$mathjax$
.Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-90\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8 u_n+18-90\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8 u_n-72\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8\left(u_n-\frac{72}{0,8}\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8\left(u_n-90\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8 v_n$mathjax$
\phantom{v_{n+1}}=0,8 u_n+18-90\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8 u_n-72\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8\left(u_n-\frac{72}{0,8}\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8\left(u_n-90\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8 v_n$mathjax$
Donc la suite
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est géométrique de raison $mathjax$q=0,8$mathjax$
et de premier terme $mathjax$v_0=u_0-90\\
\phantom{v_0}=65-90\\
\phantom{v_0}=-25$mathjax$
\phantom{v_0}=65-90\\
\phantom{v_0}=-25$mathjax$
Question 2b :
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=v_0\times 0,8^n\\
\phantom{v_n}=-25\times 0,8^n$mathjax$
\phantom{v_n}=-25\times 0,8^n$mathjax$
Or, pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=u_n-90\Leftrightarrow v_n+90=u_n-90+90\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow v_n+90=u_n\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=v_n+90\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=-25\times 0,8^n+90\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=90-25\times 0,8^n$mathjax$
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow v_n+90=u_n\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=v_n+90\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=-25\times 0,8^n+90\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=90-25\times 0,8^n$mathjax$
Question 3a :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle tant que et utilise deux variables :
- n initialisée à 0 et incrémenté de 1 dans la boucle qui est donc le rang
- u initialisée à $mathjax$u_0=65$mathjax$et affecté selon la relation de récurrence dans la boucle qui est donc le terme$mathjax$u_n$mathjax$
$mathjax$u_n\ge 85$mathjax$
, c'est-à-dire dans son contexte se terminer sur la réalisation de $mathjax$u\ge 85$mathjax$
.La condition de poursuite de la boucle tant que est donc le contraire, c'est-à-dire
$mathjax$u<85$mathjax$
.Ligne 3: Tant que u<85
Question 3b :
Programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique pour obtenir la réponse. Afin de pouvoir en prime en justifier via une pseudo-trace de son exécution, rajoutons en fin du corps de la boucle une instruction d'affichage de l'état des variables et de la condition de poursuite de la boucle.
Algorithme | Programme | ||||||||||||||||
|
|
Voici une trace d'exécution de l'algorithme :
Etape | n | u | u<85 |
Initialisation | 0 | 65 | Vrai |
1ère itération tant que | 1 | 70 | Vrai |
2ème itération tant que | 2 | 74 | Vrai |
3ème itération tant que | 3 | 77,2 | Vrai |
4ème itération tant que | 4 | 79,76 | Vrai |
5ème itération tant que | 5 | 81,808 | Vrai |
6ème itération tant que | 6 | 83,4464 | Vrai |
7ème itération tant que | 7 | 84,75712 | Vrai |
8ème itération tant que | 8 | 85,805696 | Faux |
L'algorithme répond donc 8.
Question 3c :
D'après la question 2b :
$mathjax$u_n≥85\Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n≥85\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n-90≥85-90\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow -25\times 0,8^n≥-5\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 25\times 0,8^n≤5\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow \frac{25\times 0,8^n}{25}≤\frac{-5}{25}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 0,8^n≤\frac{1}{5}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow ln\left(0,8^n\right)≤ln\left(\frac{1}{5}\right) \text{car la fonction ln est croissante}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤ln(1)-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤0-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow \frac{n\times ln(0,8)}{ln(0,8)}≥\frac{-ln(5)}{ln(0,8)} \text{car ln(0,8)<0}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n≥\frac{-ln(5)}{ln(0,8)} \text{car ln(0,8)<0}$mathjax$
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n-90≥85-90\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow -25\times 0,8^n≥-5\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 25\times 0,8^n≤5\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow \frac{25\times 0,8^n}{25}≤\frac{-5}{25}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 0,8^n≤\frac{1}{5}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow ln\left(0,8^n\right)≤ln\left(\frac{1}{5}\right) \text{car la fonction ln est croissante}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤ln(1)-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤0-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow \frac{n\times ln(0,8)}{ln(0,8)}≥\frac{-ln(5)}{ln(0,8)} \text{car ln(0,8)<0}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n≥\frac{-ln(5)}{ln(0,8)} \text{car ln(0,8)<0}$mathjax$
Or,
$mathjax$\frac{-ln(5)}{ln(0,8)}\approx 7,2$mathjax$
Donc
$mathjax$n≥8$mathjax$
.Le plus petit entier n vérifiant la propriété est bien 8.
Question 4a :
Nous avons au départ
$mathjax$u_0=65$mathjax$
particuliers.Chaque mois on perd 20% par résiliation, ce qui revient à multiplier par
$mathjax$\left(1-\frac{20}{100}\right)=1-0,2\\
\phantom{\left(1-\frac{20}{100}\right)}=0,8$mathjax$
\phantom{\left(1-\frac{20}{100}\right)}=0,8$mathjax$
Mais on gagne 18 nouvelles souscriptions, ce qui revient à ajouter 10.
On retrouve donc bien la même relation de récurrence.
Question 4b :
Une recette mensuelle de 4420€ correspond à
$mathjax$\frac{4420}{52}=85$mathjax$
particuliers.La recette mensuelle dépasse 4420€ si et seulement si
$mathjax$u_n≥85$mathjax$
.Or, nous avons vu en question 3 cette inéquation admettait comme solutions
$mathjax$n≥8$mathjax$
.La recette dépassera donc 4420€ en 8 mois à compter de juillet 2017, c'est-à-dire en mars 2018.
Les 4420€ de recette seront donc bien dépassés en 2018.
Question 4c :
$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}0,8^n=0$mathjax$
car $mathjax$0<0,8<1$mathjax$
.Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=90$mathjax$
.Le nombre mensuel de particuliers va tendre vers 90.
Cela implique que la recette mensuelle va tendre vers
$mathjax$90\times 52=4680€$mathjax$
.